已知数列{an}_已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．（1）求数列{an}的通项公式

题目:

已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan= n+1 2 an+1(n≥1，n∈Z)． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求数列{n2an}的前n项和Tn； （3）若存在n∈N*，使关于n的不等式an≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．

答案:

（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan= n+1 2 an+1(n∈N*) 所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1= n 2 an(n≥2)-------（1分） 两式相减得nan= n+1 2 an+1- n 2 an 所以 (n+1)an+1 nan =3(n≥2)------------（2分） 因此数列{nan}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列 所以nan=2?3n-2(n≥2)----（3分） 故an= 1，n=1 2 n ?3n-2，n≥2 ------------（4分） （2）由（1）可知当n≥2n2an=2n?3n-2 当n≥2时，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n-2，------------（5分） ∴3Tn=3+4?31+…+2(n-1)?3n-2+2n?3n-1，------------（6分） 两式相减得Tn= 1 2 +(n- 1 2 )??3n-1(n≥2)------------（7分） 又∵T1=a1=1也满足上式，------------（8分） 所以Tn= 1 2 +(n- 1 2 )??3n-1(n∈N*)------------（9分） （3）an≤（n+1）λ等价于λ≥ an n+1 ，------------（10分） 由（1）可知当n≥2时， an n+1 = 2?3n-2 n(n+1) 设f(n)= n(n+1) 2?3n-2 (n≥2，n∈N*)，则f(n+1)-f(n)= n(n+1)(1-n) 2?3n-1 ＜0，------------（12分） ∴ 1 f(n+1) ≥ 1 f(n) ， 又 1 f(2) = 1 3 及 a1 2 = 1 2 ，∴所求实数λ的取值范围为λ≥ 1 3 ， ∴λmin= 1 3 -----（14分）

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